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# KMP
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[Leetcode 28. Find the Index of the First Occurrence in a String](https://leetcode.com/problems/find-the-index-of-the-first-occurrence-in-a-string/)
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KMP 主要用在 pattern 匹配上。
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比如给出一个字符串 s 和一个字符串 pattern ，请找出 pattern 第一次在 s 中出现的下标。
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## 最长公共前后缀
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前缀是指**不包含最后一个字符**的所有以第一个字符开头的连续子串；
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后缀是指**不包含第一个字符**的所有以最后一个字符结尾的连续子串。
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比如字符串 aaabcaaa 的最长公共前后缀是 aaa ，最长公共前后缀长度就是 3 。
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## 前缀表
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`next[i]` 表示 `s[0...i]` 这个子字符串的最长公共前后缀长度。
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E.g.
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```text
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s: a a b a a f
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next: 0 1 0 1 2 0
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```
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## 基本思路
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`j` 代表 pattern 的前缀结尾，`i` 代表 s 的后缀结尾。
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我们假设 `pattern[0...j]` 和 `s[i-j-1...i]` 是相等的，而 `pattern[0...j+1]` 和 `s[i-j-1...i+1]` 不想等，即末尾的 `pattern[j+1]` 和 `s[i+1]` 不想等。
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为了方便起见，我们作如下命名：
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- `pattern[0...j]` 为 p1
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- `pattern[0...j+1]` 为 p2
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- `s[i-j-1...i]` 为 s1
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- `s[i-j-1...i+1]` 为 s2
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- `pattern[j+1]` 为char_p
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- `s[i+1]` 为 char_s
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那么显然有以下结论：
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- length(p1) == length(s1)
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- length(p2) == length(s2)
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- p1 == s1
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- p2 != s2
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- char_p != char_s
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由于 char_p 和 char_s 不想等，因此我们需要将 j 回退到之前的某个位置重新开始匹配。
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回退到哪里呢？暴力匹配算法是直接将 j 回退到 0 ，然而当 p1 的某个前缀 p1_prefix 和 s1 的某个后缀 s1_postfix 相同时，即 p1_prefix == s1_postfix 时，我们其实就可以跳过这段字符串，直接将 j 放到 p1_prefix 的末尾，然后继续尝试匹配。
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那么现在的问题就是怎么找这个 p1_prefix ？
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由于 p1 == s1 ，因此 s1_postfix 其实就是相同长度的 p1 的后缀 p1_postfix ，也就是说我们之前的假设就可以重新写为 p1_prefix == p1_postfix 。
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看到了吗，其实这就是在找 p1 的最长公共前后缀。
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我们找到最长公共前后缀之后，把 j 挪到 p1_prefix 的末尾就行了。
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如果我们构造出了一个 pattern 的前缀表 next ，那么假设现在 j 指向的是 char_p ，把 j 往前挪的代码就可以写为
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```cpp
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j = next[j - 1];
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```
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