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# KMP

[Leetcode 28. Find the Index of the First Occurrence in a String](https://leetcode.com/problems/find-the-index-of-the-first-occurrence-in-a-string/)

KMP 主要用在 pattern 匹配上。

比如给出一个字符串 s 和一个字符串 pattern ，请找出 pattern 第一次在 s 中出现的下标。

## 最长公共前后缀

前缀是指**不包含最后一个字符**的所有以第一个字符开头的连续子串；

后缀是指**不包含第一个字符**的所有以最后一个字符结尾的连续子串。

比如字符串 aaabcaaa 的最长公共前后缀是 aaa ，最长公共前后缀长度就是 3 。

## 前缀表

`next[i]` 表示 `s[0...i]` 这个子字符串的最长公共前后缀长度。

E.g.

```text
s:      a a b a a f
next:   0 1 0 1 2 0
```

## 基本思路

`j` 代表 pattern 的前缀结尾，`i` 代表 s 的后缀结尾。

我们假设 `pattern[0...j]` 和 `s[i-j-1...i]` 是相等的，而 `pattern[0...j+1]` 和 `s[i-j-1...i+1]` 不想等，即末尾的 `pattern[j+1]` 和 `s[i+1]` 不想等。

为了方便起见，我们作如下命名：

- `pattern[0...j]` 为 p1
- `pattern[0...j+1]` 为 p2
- `s[i-j-1...i]` 为 s1
- `s[i-j-1...i+1]` 为 s2
- `pattern[j+1]` 为char_p
- `s[i+1]` 为 char_s

那么显然有以下结论：

- length(p1) == length(s1)
- length(p2) == length(s2)
- p1 == s1
- p2 != s2
- char_p != char_s

由于 char_p 和 char_s 不想等，因此我们需要将 j 回退到之前的某个位置重新开始匹配。

回退到哪里呢？暴力匹配算法是直接将 j 回退到 0 ，然而当 p1 的某个前缀 p1_prefix 和 s1 的某个后缀 s1_postfix 相同时，即 p1_prefix == s1_postfix 时，我们其实就可以跳过这段字符串，直接将 j 放到 p1_prefix 的末尾，然后继续尝试匹配。

那么现在的问题就是怎么找这个 p1_prefix ？

由于 p1 == s1 ，因此 s1_postfix 其实就是相同长度的 p1 的后缀 p1_postfix ，也就是说我们之前的假设就可以重新写为 p1_prefix == p1_postfix 。

看到了吗，其实这就是在找 p1 的最长公共前后缀。

我们找到最长公共前后缀之后，把 j 挪到 p1_prefix 的末尾就行了。

如果我们构造出了一个 pattern 的前缀表 next ，那么假设现在 j 指向的是 char_p ，把 j 往前挪的代码就可以写为

```cpp
j = next[j - 1];
```