背包问题

有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。其中 weight[i] 和 value[i] 都是整数。

dp[i][j] 表示从下标为 [0 - i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。
递推公式为 dp[i][j] = max{dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]}
- 不放物品 i：由 dp[i - 1][j] 推出，即背包容量为 j，里面不放物品 i 的最大价值，此时 dp[i][j] 就是 dp[i - 1][j]。
- 放物品 i：由 dp[i - 1][j - weight[i]] 推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为 j - weight[i] 的时候不放物品 i 的最大价值，那么 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]（物品 i 的价值），就是背包放物品 i 得到的最大价值。
初始化
- dp[i][0] = 0
- dp[0][j] 当 j < weight[0] 时应该为 0，否则为 value[0]
从前往后遍历

void bag_problem_2d() {
  vector<int> weight = {1, 3, 4};
  vector<int> value = {15, 20, 30};
  int w = 4;

  // 二维数组
  vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

  // 初始化
  for (int j = weight[0]; j <= w; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
  }

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {  // 遍历物品
    for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {   // 遍历背包容量
      if (j < weight[i])
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
      else
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
  }
}

接下来优化我们的代码。

注意到递推公式的右侧只用到了 dp[i - 1]，我们可以把它看成是 dp[i] 上一步的状态，因此每一次迭代的时候我们完全可以将 dp[i - 1] 覆盖到 dp[i]，这样可以将二维数组压缩到一维。

递推公式可以修改成：dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}

这就是滚动数组的思路，使用条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。从递推公式来看，只要递推公式满足了右侧只用了 dp[i - 1] 那么就可以压缩。

来分析 DP 的思路：

dp[j] 表示容量为 j 的背包所能背的物品的最大价值。
递推公式为 dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}
初始化 dp[j] = 0
这次应该从后往前遍历。每次我们访问 dp[j - weight[i]] + value[i] 的时候都把物品 i 放进去了一次。为了避免重复放进去，应该从后往前遍历。

void bag_problem_1d() {
  vector<int> weight = {1, 3, 4};
  vector<int> value = {15, 20, 30};
  int w = 4;

  // 初始化
  vector<int> dp(w + 1, 0);
  for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {         // 遍历物品
    for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {  // 遍历背包容量
      dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
  }
}

Q: 能不能先遍历容量，再遍历物品？

A: 不行，因为我们本来就是要用上一层的 i - 1 来覆盖这一层的 i。

Q: 为啥二维不用从后往前呢？

A: 因为 dp[i][j] 都是通过上一层即 dp[i - 1][j] 计算而来，本层的 dp[i][j] 并不会被覆盖。

Q: 一维从后往前的本质是什么？

A: 如果从后往前的话，dp[j - weight[i]] + value[i] 就用的是上一层的数据（这才是我们想要的），但如果从前往后的话，dp[j - weight[i]] + value[i] 就用的是这一层的数据，这将会导致物品被重复放进去。

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