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2023-02-08 09:41:11 +00:00
# 背包问题
`n` 件物品和一个最多能背重量为 `w` 的背包。第 `i` 件物品的重量是 `weight[i]`,得到的价值是 `value[i]`。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。其中 `weight[i]``value[i]` 都是整数。
- `dp[i][j]` 表示从下标为 `[0 - i]` 的物品里任意取,放进容量为 `j` 的背包,价值总和最大是多少。
- 递推公式为 `dp[i][j] = max{dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]}`
- 不放物品 `i`:由 `dp[i - 1][j]` 推出,即背包容量为 `j`,里面不放物品 `i` 的最大价值,此时 `dp[i][j]` 就是 `dp[i - 1][j]`
- 放物品 `i`:由 `dp[i - 1][j - weight[i]]` 推出,`dp[i - 1][j - weight[i]]` 为背包容量为 `j - weight[i]` 的时候不放物品 `i` 的最大价值,那么 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]`(物品 `i` 的价值),就是背包放物品 `i` 得到的最大价值。
- 初始化
- `dp[i][0] = 0`
- `dp[0][j]``j < weight[0]` 时应该为 `0`,否则为 `value[0]`
- 从前往后遍历
```cpp
void bag_problem_2d() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int w = 4;
// 二维数组
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= w; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
```
接下来优化我们的代码。
注意到递推公式的右侧只用到了 `dp[i - 1]`,我们可以把它看成是 `dp[i]` 上一步的状态,因此每一次迭代的时候我们完全可以将 `dp[i - 1]` 覆盖到 `dp[i]`,这样可以将二维数组压缩到一维。
递推公式可以修改成:`dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}`
这就是滚动数组的思路,使用条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。从递推公式来看,只要递推公式满足了右侧只用了 `dp[i - 1]` 那么就可以压缩。
来分析 DP 的思路:
- `dp[j]` 表示容量为 `j` 的背包所能背的物品的最大价值。
- 递推公式为 `dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}`
- 初始化 `dp[j] = 0`
- 这次应该从后往前遍历。每次我们访问 `dp[j - weight[i]] + value[i]` 的时候都把物品 `i` 放进去了一次。为了避免重复放进去,应该从后往前遍历。
```cpp
void bag_problem_1d() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int w = 4;
// 初始化
vector<int> dp(w + 1, 0);
for (int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
```
**Q: 能不能先遍历容量,再遍历物品?**
**A:** 不行,因为我们本来就是要用上一层的 `i - 1` 来覆盖这一层的 `i`
**Q: 为啥二维不用从后往前呢?**
**A:** 因为 `dp[i][j]` 都是通过上一层即 `dp[i - 1][j]` 计算而来,本层的 `dp[i][j]` 并不会被覆盖。
**Q: 一维从后往前的本质是什么?**
**A:** 如果从后往前的话,`dp[j - weight[i]] + value[i]` 就用的是上一层的数据(这才是我们想要的),但如果从前往后的话,`dp[j - weight[i]] + value[i]` 就用的是这一层的数据,这将会导致物品被重复放进去。