# 背包问题

有 `n` 件物品和一个最多能背重量为 `w` 的背包。第 `i` 件物品的重量是 `weight[i]`，得到的价值是 `value[i]`。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。其中 `weight[i]` 和 `value[i]` 都是整数。

- `dp[i][j]` 表示从下标为 `[0 - i]` 的物品里任意取，放进容量为 `j` 的背包，价值总和最大是多少。
- 递推公式为 `dp[i][j] = max{dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]}`
  - 不放物品 `i`：由 `dp[i - 1][j]` 推出，即背包容量为 `j`，里面不放物品 `i` 的最大价值，此时 `dp[i][j]` 就是 `dp[i - 1][j]`。
  - 放物品 `i`：由 `dp[i - 1][j - weight[i]]` 推出，`dp[i - 1][j - weight[i]]` 为背包容量为 `j - weight[i]` 的时候不放物品 `i` 的最大价值，那么 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]`（物品 `i` 的价值），就是背包放物品 `i` 得到的最大价值。
- 初始化
  - `dp[i][0] = 0`
  - `dp[0][j]` 当 `j < weight[0]` 时应该为 `0`，否则为 `value[0]`
- 从前往后遍历

```cpp
void bag_problem_2d() {
  vector<int> weight = {1, 3, 4};
  vector<int> value = {15, 20, 30};
  int w = 4;

  // 二维数组
  vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

  // 初始化
  for (int j = weight[0]; j <= w; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
  }

  // weight数组的大小 就是物品个数
  for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {  // 遍历物品
    for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {   // 遍历背包容量
      if (j < weight[i])
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
      else
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
  }
}
```

接下来优化我们的代码。

注意到递推公式的右侧只用到了 `dp[i - 1]`，我们可以把它看成是 `dp[i]` 上一步的状态，因此每一次迭代的时候我们完全可以将 `dp[i - 1]` 覆盖到 `dp[i]`，这样可以将二维数组压缩到一维。

递推公式可以修改成：`dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}`

这就是滚动数组的思路，使用条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。从递推公式来看，只要递推公式满足了右侧只用了 `dp[i - 1]` 那么就可以压缩。

来分析 DP 的思路：

- `dp[j]` 表示容量为 `j` 的背包所能背的物品的最大价值。
- 递推公式为 `dp[j] = max{dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]}`
- 初始化 `dp[j] = 0`
- 这次应该从后往前遍历。每次我们访问 `dp[j - weight[i]] + value[i]` 的时候都把物品 `i` 放进去了一次。为了避免重复放进去，应该从后往前遍历。

```cpp
void bag_problem_1d() {
  vector<int> weight = {1, 3, 4};
  vector<int> value = {15, 20, 30};
  int w = 4;

  // 初始化
  vector<int> dp(w + 1, 0);
  for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {         // 遍历物品
    for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {  // 遍历背包容量
      dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
  }
}
```

**Q: 能不能先遍历容量，再遍历物品？**

**A:** 不行，因为我们本来就是要用上一层的 `i - 1` 来覆盖这一层的 `i`。

**Q: 为啥二维不用从后往前呢？**

**A:** 因为 `dp[i][j]` 都是通过上一层即 `dp[i - 1][j]` 计算而来，本层的 `dp[i][j]` 并不会被覆盖。

**Q: 一维从后往前的本质是什么？**

**A:** 如果从后往前的话，`dp[j - weight[i]] + value[i]` 就用的是上一层的数据（这才是我们想要的），但如果从前往后的话，`dp[j - weight[i]] + value[i]` 就用的是这一层的数据，这将会导致物品被重复放进去。