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总结

使用场景：如果解决一个问题需要多个步骤，而每个步骤都在前一步的基础上进行选择，那么就可以用回溯法。

回溯法本质是在一棵树上进行深度优先遍历，因此需要设计好这棵树是如何生成的。

算法设计：

关键就是要学会分析和画图，然后确定传入参数。只要传入参数确定了代码框架就确定了 (返回值一般是 void)：

• 思考这棵树怎么画，每层遍历的逻辑是什么，每条边的操作逻辑是什么。
• 得设计一个数据结构 NodeState 来存放当前节点状态。该数据结构的可扩展性必须要强，需要满足以下条件：
  • 能描述当前节点的状态
  • 能作为最终结果存储
  • 能根据当前节点更新状态和撤销之前的更改
• 得有一个 &result 来存放结果，这个 &result 通常是一个向量 vector<NodeState> &，里面存放了节点状态。
• 其它传入参数用来完成每层遍历操作和每条边的操作。

设计完了数据结构之后来看看具体代码怎么写。模板如下：

void backtrack(NodeState &node, vector<NodeState> &result, int para1, int para2, int para3) {
  // 终止条件
  // 回溯法中的每个节点并不是真的树状节点，没有 `nullptr` ，因此用空指针来判断是否到了叶子结点并不合理，需要其它的一些方法来确定是否到达叶子节点，比如高度。
  if (/* end condition */) {
    /* update result */
    return;
  }

  // 剪枝
  // 当现在的节点不可能出现我们想要的结果时，直接跳过。
  if (/* out of scope */) {
    return;
  }

  // 遍历该节点的所有子节点，即遍历下一层
  for (...) {
    // 剪枝也可以在 for 循环中完成
    if (/* out of scope */) {
      continue;
    }
    // 处理节点
    // 现在 node 中的数据描述的是当前节点，
    // handle(node) 一般是让 node 中的数据变成子节点的数据
    handle(node);
    // 递归
    backtrack(node, result, para1, para2, para3);
    // 撤销数据处理，让 node 中的数据再次变回描述当前节点的数据
    revert(node);
  }
}

回溯法的一个很重要的考点在于如何去重。去重有两种思路，一个是用哈希表记录每一层的使用情况，另一种是排序 + 判断，后者性能更好所以优先选择后者。

具体算法参考 40. 组合总和 II 和 491. 递增子序列

复杂度分析：

• 时间复杂度：最长路径长度 × 搜索树的节点数
• 空间复杂度：一个节点所需要的空间 × 搜索树的节点数