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组合问题

组合问题：N 个数里面按一定规则找出 k 个数的集合

77. 组合

每个节点存储的数据是什么？是一个 vector<int> 类型的数据，代表当前节点的路径。

下一个节点的路径需要基于上一个节点的路径来获得，因此传入参数应该有一个 vector<int> path。另外，还需要有一个 vector<vector<int>> &result 用来存放结果。

终止条件是什么？回溯法中的每个节点并不是真的树状节点，没有 nullptr ，因此用空指针来判断是否到了叶子节点并不合理。

本题中我们可以通过高度来判断是否达到了叶子节点，如果 path.size() == k 则说明到达了叶子节点，则停止迭代，并把当前路径添加到结果变量中。

因此我们还需要高度 k，int k 也应该是一个传入参数。

为了防止重复，我们需要在 [1, n] 中的一个子区间 [begin, n] 中选择一个数，[1, begin] 是我们已经选过了的，因此我们需要 int n 和 int begin 来作为传入参数。

在每次迭代中，我们从 [begin, n] 中挨个选一个数加到上一轮迭代传递进来的 path 中，然后进行下一轮迭代。

void combineDFS(int n, int k, int begin, vector<int> &path,
                vector<vector<int>> &result) {
  // 当 path 长度等于 k 时停止迭代，并将加入结果
  if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
  }

  // 遍历可能的搜索起点
  for (int i = begin; i <= n; ++i) {
    // 将 i 加入路径
    path.push_back(i);
    // 下一轮搜索
    combineDFS(n, k, i + 1, path, result);
    // 回溯，撤销处理的节点
    path.pop_back();
  }
}

我们现在来看看能不能优化。

在上图的这种情况中，每一层其实都可以剪掉一些不可能的分支，我们可以对每一层循环的终止条件进行限制，从而剪枝。

优化后的代码如下：

void combineDFS(int n, int k, int begin, vector<int> &path,
                vector<vector<int>> &result) {
  // 当 path 长度等于 k 时停止迭代，并将加入结果
  if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
  }

  // 遍历可能的搜索起点
  // 在这一步中，每一次循环都可以对末尾进行限制来剪枝
  for (int i = begin; i <= n - (k - path.size()) + 1; ++i) {
    // 将 i 加入路径
    path.push_back(i);
    // 下一轮搜索
    combineDFS(n, k, i + 1, path, result);
    // 回溯，撤销处理的节点
    path.pop_back();
  }
}

216. 组合总和 III

39. 组合总和

40. 组合总和 II

最难的一个组合总和，因为 candidates 有重复元素，而要求最终结果不能重复。

e.g. 1

Input: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8
Output:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

如果你只是单纯地在 s0039 的基础上在下一次递归中将 startIndex 设为 i + 1 那么最终结果就会出现两个 [1, 2, 5]。

如果你直接排除 candidates[i] == candidates[i - 1] 的情形，那么最终结果就没有 [1, 1, 6]。

正确的逻辑应该是如果 candidates[i] == candidates[i - 1] 且 candidates[i - 1] 使用过，则剪枝。

那么我们现在要来定义一下什么叫“使用过”。这张图里面有两种“使用过”，第一种使用过是“在树枝上使用过”，第二种使用过是“在数层上使用过”。

第一种“使用过”显然是合法的，我们允许元素在一条树枝上重复出现。而第二种“使用过”是不合法的，生成的结果重复了。

因此我们只需要对第二种“使用过”进行剪枝，而保留第一种“使用过”。

怎么做呢？我们创建一个 vector<bool> used 用来记录元素是否在树枝上出现过，初始化为 false。

used[i] = true;
combinationSum2DFS(candidates, target, i + 1, path, sum + candidates[i],
                   used, result);
used[i] = false;

那么 used[i - 1] == true 说明 candidates[i - 1] 在树枝上出现过，我们需要保留这种情况，不剪枝。

// 剪枝，但保留树枝重复的情况
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false)
  continue;

另外需要注意一点，为了进行剪枝，我们需要对 candidates 进行排序：

// 对 candidates 进行升序排序，这是为了进行剪枝
sort(candidates.begin(), candidates.end());

完整代码如下：

void combinationSum2DFS(vector<int> &candidates, int target, int startIndex,
                        vector<int> &path, int sum, vector<bool> &used,
                        vector<vector<int>> &result) {
  // 结束条件：总和等于 target 。不存在总和大于 target 的情况，因为已经被剪枝了
  if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
  }

  // 开始迭代
  int size = candidates.size();
  for (int i = startIndex; i < size; ++i) {
    // 剪枝，当现在节点的 sum 已经超过了 target，就没必要继续迭代了
    if (sum + candidates[i] > target) break;
    // 剪枝，但保留树枝重复的情况
    if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false)
      continue;
    path.push_back(candidates[i]);
    used[i] = true;
    combinationSum2DFS(candidates, target, i + 1, path, sum + candidates[i],
                       used, result);
    used[i] = false;
    path.pop_back();
  }
}