# 理论基础

## 二叉树的种类

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为 0 的结点和度为 2 的结点，并且度为 0 的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

![](https://img-blog.csdnimg.cn/20200806185805576.png)

完全二叉树：除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。

![](https://img-blog.csdnimg.cn/20200920221638903.png)

二叉搜索树：

- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

![](https://img-blog.csdnimg.cn/20200806190304693.png)

平衡二叉搜索树：又被称为 AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

![](https://img-blog.csdnimg.cn/20200806190511967.png)

## 二叉树的存储方式

1. 链式，用链表来存储

```cpp
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
```

2. 数组存储

![](https://img-blog.csdnimg.cn/20200920200429452.png)

如果父节点的数组下标是 `i`，那么它的左孩子就是 `i * 2 + 1`，右孩子就是 `i * 2 + 2`。

## 遍历方式

- 深度优先遍历
  - 前序遍历（递归法，迭代法）
  - 中序遍历（递归法，迭代法）
  - 后序遍历（递归法，迭代法）
- 广度优先遍历
  - 层序遍历（迭代法）

深度优先遍历：

1. 不保留全部节点状态，占用空间小
2. 有回溯操作（即有入栈、出栈操作），运行速度慢
3. 深度很大的情况下效率不高

广度优先遍历：

1. 保留全部节点状态，占用空间大
2. 无回溯操作（即无入栈、出栈操作），运行速度快
3. 对于解决最短或最少问题特别有效，而且寻找深度小（每个结点只访问一遍，结点总是以最短路径被访问，所以第二次路径确定不会比第一次短）

区分前中后序遍历的方法：

- 前序遍历：中左右
- 中序遍历：左中右
- 后序遍历：左右中

## 技巧

1. 深度优先搜索从下往上，广度优先搜索从上往下，所以如果需要处理从上往下并且状态积累的情形 (e.g. [s0404](https://leetcode.cn/problems/sum-of-left-leaves/) && [s0257](https://leetcode.cn/problems/binary-tree-paths/)) 可以先创建一个结构体用来描述节点状态，然后用 BFS 遍历。
2. 写递归时，如果 `TreeNode *ptr` 不足以描述当前节点状态，则可以写一个辅助函数，接收 `TreeNode *ptr` 为参数，返回 `TreeNodeState` 来描述当前节点的状态。参考 [s0098](https://leetcode.cn/problems/validate-binary-search-tree/)
3. 另一种需要结构体的地方是需要获得每个节点路径（即根节点到当前节点所经过的路径），可以用 DFS 或 BFS 遍历。
4. 如果要处理不是从上往下积累状态，而是按照一定规则遍历节点并积累状态的情况（e.g. [s0538](https://leetcode.cn/problems/convert-bst-to-greater-tree/description/)）则考虑用三种递归遍历方式中的一种来遍历，并用一个全局变量来记录遍历状态。另外，务必理解并记忆每种遍历方式的动态图！