From b2dda568e246541a982cbf32a2af354f959af9ef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sainnhe Park <i@sainnhe.dev>
Date: Thu, 9 Feb 2023 17:48:46 +0800
Subject: [PATCH] Update knapsack

---
 notes/src/knapsack.md | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 93 insertions(+)

diff --git a/notes/src/knapsack.md b/notes/src/knapsack.md
index 3ffcf02..0a49447 100644
--- a/notes/src/knapsack.md
+++ b/notes/src/knapsack.md
@@ -201,3 +201,96 @@ void complete_knapsack_problem_1d() {
   - 一种特殊情况是 `dp[0]`，它表示组合成总金额为 `0` 的组合数，我们必须把它赋值为 `1`，这是因为当我们执行 `dp[j] += dp[j - coins[i]]` 的时候，如果 `j == coins[i]` 那么显然应该自增 `1`。
   - 看看能不能不初始化第一层，我们直接删掉代码试试发现可以，那就不初始化第一层。
 - 遍历顺序都是从前向后
+
+### [377. 组合总和 Ⅳ](https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/)
+
+这道题我们要先分清楚组合和排列。
+
+`(1, 2)` 和 `(2, 1)` 是不同的排列，同样的组合。
+
+本题求的是排列数。
+
+**如果求组合数就是外层 for 循环遍历物品，内层 for 遍历背包；**
+
+**如果求排列数就是外层 for 遍历背包，内层 for 循环遍历物品。**
+
+- `dp[i]` 为从 0 ~ j 中选取排列，凑成 `i` 的排列数
+- `dp[i] += dp[i - nums[j]]`
+- `dp[0] = 1` 其它为 `0`
+- 都从前向后
+
+### [70. 爬楼梯](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/)
+
+本题求的是排列数，因此外循环遍历背包容量，内循环遍历物品。
+
+- `dp[i]` 为爬到第 `i` 阶的排列个数
+- `dp[i] += dp[i - nums[j]]`
+- `dp[0] = 1` 其它为 `0`
+- 都是从前往后
+
+### [322. 零钱兑换](https://leetcode.cn/problems/coin-change/)
+
+本题求的是组合数，因此外循环遍历物品，内循环遍历背包容量。
+
+- `dp[j]` 为凑成金额 `j` 所需的最少硬币数
+- `dp[j] = min{dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]}`
+- `dp[0] = 0` 其它为 `INT_MAX`
+- 都是从前往后
+
+### [279.完全平方数](https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/)
+
+本题求的是组合数，因此外循环遍历物品，内循环遍历背包容量。
+
+- `dp[j]` 为能凑成 `j` 的最少完全平方数的个数
+- `dp[j] = min{dp[j - i * i] + 1, dp[j]}`
+- `dp[0] = 0` 其它为 `INT_MAX`
+- 都是从前往后
+
+## 多重背包
+
+和 01 背包的区别在于，01 背包的每个元素只能用一次，而多重背包的每个物品能用 `ki` 次。
+
+解决方法也很简单，把多重背包展开：
+
+|        | Weight | Value | Numbers |
+| :----: | :----: | :---: | :-----: |
+| Item 0 |   1    |  15   |    2    |
+| Item 1 |   3    |  20   |    3    |
+| Item 2 |   4    |  30   |    2    |
+
+可以展开成这样的 01 背包：
+
+|        | Weight | Value |
+| :----: | :----: | :---: |
+| Item 0 |   1    |  15   |
+| Item 1 |   1    |  15   |
+| Item 2 |   3    |  20   |
+| Item 3 |   3    |  20   |
+| Item 4 |   3    |  20   |
+| Item 5 |   4    |  30   |
+| Item 6 |   4    |  30   |
+
+```cpp
+void multi_knapsack_2d() {
+  vector<int> weight = {1, 3, 4};
+  vector<int> value = {15, 20, 30};
+  vector<int> nums = {2, 3, 2};
+  int knapsackWeight = 10;
+
+  // 展开
+  for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
+    while (nums[i] > 1) {  // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
+      weight.push_back(weight[i]);
+      value.push_back(value[i]);
+      nums[i]--;
+    }
+  }
+
+  vector<int> dp(knapsackWeight + 1, 0);
+  for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {         // 遍历物品
+    for (int j = knapsackWeight; j >= weight[i]; j--) {  // 遍历背包容量
+      dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+    }
+  }
+}
+```