KMP Update

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 # KMP
 
-[代码随想录](https://programmercarl.com/0028.%E5%AE%9E%E7%8E%B0strStr.html)
+[Leetcode 28. Find the Index of the First Occurrence in a String](https://leetcode.com/problems/find-the-index-of-the-first-occurrence-in-a-string/)
 
 KMP 主要用在 pattern 匹配上。
 
-比如给出一个字符串 s 和一个 pattern ，请找出 pattern 第一次在 s 中出现的下标。
+比如给出一个字符串 s 和一个字符串 pattern ，请找出 pattern 第一次在 s 中出现的下标。
 
 ## 最长公共前后缀
 
-前缀是指不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串；
+前缀是指**不包含最后一个字符**的所有以第一个字符开头的连续子串；
 
-后缀是指不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串。
+后缀是指**不包含第一个字符**的所有以最后一个字符结尾的连续子串。
 
 比如字符串 aaabcaaa 的最长公共前后缀是 aaa ，最长公共前后缀长度就是 3 。
 
@@ -18,18 +18,50 @@ KMP 主要用在 pattern 匹配上。
 
 `next[i]` 表示 `s[0...i]` 这个子字符串的最长公共前后缀长度。
 
+E.g.
+
+```text
+s:      a a b a a f
+next:   0 1 0 1 2 0
+```
+
 ## 基本思路
 
-`i` 代表 pattern 的前缀结尾，`j` 代表 s 的后缀结尾。
+`j` 代表 pattern 的前缀结尾，`i` 代表 s 的后缀结尾。
 
-我们假设 `pattern[0...j]` 和 `s[i-j...i]` 一开始是相等的，但是当 `j` 和 `i` 都自增了 1 之后就不完全相等了，即末尾的 `pattern[j]` 和 `s[i]` 不相同。
+我们假设 `pattern[0...j]` 和 `s[i-j-1...i]` 是相等的，而 `pattern[0...j+1]` 和 `s[i-j-1...i+1]` 不想等，即末尾的 `pattern[j+1]` 和 `s[i+1]` 不想等。
 
-但是 `pattern[0...j]` 有一段前缀 `pattern[0...k]` 和 `s` 的一段后缀 `s[i-k...i]` 相同。
+为了方便起见，我们作如下命名：
 
-那么我们可以从 `pattern[k+1]` 开始匹配。
+- `pattern[0...j]` 为 p1
+- `pattern[0...j+1]` 为 p2
+- `s[i-j-1...i]` 为 s1
+- `s[i-j-1...i+1]` 为 s2
+- `pattern[j+1]` 为char_p
+- `s[i+1]` 为 char_s
 
-这个时候我们需要让 `j` 回退到 `k+1` 。那么怎么做呢？
+那么显然有以下结论：
 
-实际上 `k+1 == next[j-1]` 。
+- length(p1) == length(s1)
+- length(p2) == length(s2)
+- p1 == s1
+- p2 != s2
+- char_p != char_s
 
-参考 s0028 详细代码实现与注释
+由于 char_p 和 char_s 不想等，因此我们需要将 j 回退到之前的某个位置重新开始匹配。
+
+回退到哪里呢？暴力匹配算法是直接将 j 回退到 0 ，然而当 p1 的某个前缀 p1_prefix 和 s1 的某个后缀 s1_postfix 相同时，即 p1_prefix == s1_postfix 时，我们其实就可以跳过这段字符串，直接将 j 放到 p1_prefix 的末尾，然后继续尝试匹配。
+
+那么现在的问题就是怎么找这个 p1_prefix ？
+
+由于 p1 == s1 ，因此 s1_postfix 其实就是相同长度的 p1 的后缀 p1_postfix ，也就是说我们之前的假设就可以重新写为 p1_prefix == p1_postfix 。
+
+看到了吗，其实这就是在找 p1 的最长公共前后缀。
+
+我们找到最长公共前后缀之后，把 j 挪到 p1_prefix 的末尾就行了。
+
+如果我们构造出了一个 pattern 的前缀表 next ，那么假设现在 j 指向的是 char_p ，把 j 往前挪的代码就可以写为
+
+```cpp
+j = next[j - 1];
+```